Question

（2012•宣城模擬）已知三次函數f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）為R上奇函數，且在x=

3

3

處取得極值-

2 3

9

．記函數圖象為曲線C．
（Ⅰ）求函數f（x）的表達式；
（Ⅱ）設曲線C與其在點P₁（1，f（1））處的切線交于另一點P₂（x₂，f（x₂）），線段P₁P₂與曲線C所圍成封閉圖形的面積記為S₁，求S₁的值；
（Ⅲ） 在（Ⅱ）的條件下，設曲線C與其在點P₂處的切線交于另一點P₃（x₃，f（x₃）），線段P₂P₃與曲線C所圍成封閉圖形的面積記為S₂，…，按此方法依次做下去，即設曲線C與其在點P_n（x_n，f（x_n））處的切線交于另一點P_n+1（x_n+1，f（x_n+1）），線段P_nP_n+1與曲線C所圍成封閉圖形的面積記為S_n，試求S_n關于n的表達式．

Answer 1

分析：（I）利用奇函數的特點，采用特殊值代入法即可解得b=d=0，再利用函數極值的特點，列方程組即可解得a、c的值，從而確定函數的解析式；
（II）先利用導數的幾何意義，計算曲線C與其在點P₁（1，f（1））處的切線方程，再利用定積分的幾何意義，通過求定積分計算線段P₁P₂與曲線C所圍成封閉圖形的面積
（III）先利用導數的幾何意義，計算曲線C與其在點P_n（x_n，f（x_n））處的切線方程，再利用定積分的幾何意義，通過求定積分計算線段P_nP_n+1與曲線C所圍成封閉圖形的面積S_n，發現數列{S_n}為等比數列，從而利用等比數列的通項公式計算S_n關于n的表達式即可

解答：解：（Ⅰ）∵三次函數為R上奇函數，∴f（0）=0，f（-1）=-f（1）
即d=0且-a+b-c=-a-b-c
∴b=d=0
即f（x）=ax³+cx，f′（x）=3ax²+c，又f（x）=ax³+cx在x=

3

3

處取得極值-

2 3

9

，
∴

f( 3 3 )=- 2 3 9 f′( 3 3 )=0

即

a( 3 3 ) 3+c( 3 3 )=-  2 3 9 3a( 3 3 ) 2+c=0

得a=1，c=-1，∴f（x）=x³-x
（Ⅱ）∵f′（x）=3x²-1，f（1）=0，f′（1）=2，
∴曲線C在點P₁處的切線方程為y=2（x-1）
由

y=2(x-1) y=x3-x

解得x₁=1，x₂=-2，
∴S₁=|

∫

1 -2

x3-x-2(x-1)dx|=|（

1

4

x4 -

3

2

x2+2x）

|

1 -2

|=

27

4

（Ⅲ）f（x）在P_n（x_n，f（x_n））的切線：
y-（xn3-x_n）=（3xn2-1）（x-x_n）即y=（3xn2-1）x-2xn3
由

y=(3xn2-1)x-2xn3 y=x3-x

解得x=x_n或x=-2x_n，
∴P_n+1（-2x_n，f（-2x_n）），x_n+1=-2x_n，
S_n=|

∫

-2xn xn

x³-x-[（3xn2-1）x-2xn3]dx|=|（

1

4

x4 -

3

2

xn2x2+2xn3x）

|

-2xn xn

|=

27

4

xn4
同理得S_n+1=

27

4

xn+14，又x_n+1=-2x_n≠0，∴

Sn+1

Sn

=(

xn+1

xn

)4=16，又S₁=

27

4

∴S_n=

27

4

•16^n-1=

27

64

•16ⁿ  n∈N^*．

點評：本題綜合考查了函數的性質，導數的幾何意義，導數在函數極值中的應用，定積分的幾何意義及其運算，函數與數列的綜合運用，等比數列的通項公式等知識，綜合性較強，難度較大