Question

【題目】為了制作廣告牌，需在如圖所示的鐵片上切割出一個直角梯形，已知鐵片由兩部分組成，半徑為1的半圓及等腰直角三角形，其中，為裁剪出面積盡可能大的梯形鐵片（不計損耗），將點放在弧上，點放在斜邊上，且，設(shè).

（1）求梯形鐵片的面積關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；

（2）試確定的值，使得梯形鐵片的面積最大，并求出最大值.

Answer 1

【答案】（1），其中.（2）時，

【解析】試題分析：（1）求梯形鐵片的面積關(guān)鍵是用表示上下底及高，先由圖形得，這樣可得高，再根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)得， 最后根據(jù)梯形面積公式得 ，交代定義域．（2）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值：先求導(dǎo)數(shù) ，再求導(dǎo)函數(shù)零點，列表分析函數(shù)單調(diào)性變化規(guī)律，確定函數(shù)最值

試題解析：（1）連接，根據(jù)對稱性可得且，

所以， ， ，

所以 ，其中．

（2）記， ，

（）．

當(dāng)時， ，當(dāng)時， ，

所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

所以，即時， ．