Question

拋物線C：x²=2py（p＞0）的焦點為F，O為坐標原點；當拋物線上點N的縱坐標為1時，|NF|=2，已知直線l經過拋物線C的焦點F，且與拋物線C交于A，B兩點
（1）求拋物線C的方程；
（2）若△AOB的面積為4，求直線l的方程．

Answer 1

（1）由已知得焦點F(0，

p

2

)，準線方程為y=-

p

2

，
由拋物線的定義及點N的縱坐標為1，得|NF|=

p

2

+yN=

p

2

+1
又|NF|=2，
∴

p

2

+1=2∴p=2，
∴拋物線的方程為x²=4y（4分）
（2）依題意設直線l的方程為：y=kx+1（k必存在）

y=kx+1 x2=4y

⇒x2-4kx-4=0，…（6分）
則△=16k²+16＞0，
設直線l與拋物線的交點坐標為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則有x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4，…（8分）
∴|AB|=

1+k2

|x1-x2|=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=4(1+k2)…（10分）
∵O到AB的距離d=

1

k2+1

，
∴S△AOB=

1

2

|AB|d=2

k2+1

=4，
∴k=±

3

，
∴直線方程為y=±

3

x+1…..（12分）