Question

（2013•西城區二模）在直角坐標系xOy中，已知兩定點A（1，0），B（1，1）．動點P（x，y）滿足

0≤ OP • OA ≤1 0≤ OP • OB ≤2.

則點P構成的區域的面積是

2

；點Q（x+y，x-y）構成的區域的面積是

4

．

Answer 1

分析：由題意可得 

0≤x≤1 0≤x+y≤2

，畫出可行域為：直角梯形OABD及其內部區域，數形結合求得直角梯形OABD的面積．
設點Q（s，t），則x+y=s，x-y=t，可得

0≤s+t≤2 0≤s≤2

，點Q的可行域為直角三角形OMN及其內部區域，數形結合
求得點Q（s，t）構成的區域的面積．

解答：解：由題意可得

0≤ OP • OA ≤1 0≤ OP • OB ≤2.

，即

0≤x≤1 0≤x+y≤2

，
畫出可行域為：平行四邊形OABD及其內部區域，其中D（0，2），E（1，0），
故點P構成的區域的面積是OD×QE=2×1=2．

設點Q（s，t），則x+y=s，x-y=t，即

x= s+t 2 y= s-t 2

．  再由

0≤x≤1 0≤x+y≤2

 可得

0≤s+t≤2 0≤s≤2

，
∴點Q的可行域為平行四邊形ORMN及其內部區域，如圖所示：M（2，0）、N（0，2），
故點Q（s，t）構成的區域的面積是2×S_△OMN=2×

1

2

•OM•ON=2×

1

2

×2×2=4，


故答案為2，4．

點評：本題主要考查簡單的線性規劃問題，兩個向量的數量積的定義，屬于中檔題．