Question

某公司準備年底推出一新產品，為將產品推向市場，公司決定撥出一部分資金作為廣告費用，經預算，平均每件產品的廣告費用為0.5元，在產品投放市場之前，銷售人員做了認真的市場調查，為了增強市場對該產品的認知度，準備在投放市場的同時進行產品促銷活動，經預算，用于促銷活動費用Q（x）與月銷售量x（萬件）之間的關系式Q(x)=

k

3x+4

．若在產品投放市場之前，促銷活動的費用（前期準備工作）已花費6萬元．
（1）求該公司一年用于該產品的廣告費用與促銷費用總和f（x）與月銷售量x（萬件）之間的關系式；
（2）求當月銷售量是多少時該公司一年用于該產品的廣告費用與促銷費用總和f（x）最少．

Answer 1

分析：（1）利用在產品投放市場之前，促銷活動的費用（前期準備工作）已花費6萬元，確定促銷活動費用Q（x）的解析式，即可求得該產品的廣告費用與促銷費用總和f（x）與月銷售量x（萬件）之間的關系式；
（2）利用導數的方法，求得函數的單調性，可求最值．

解答：解：（1）由題意，x=0時，y=6，則k=24，∴Q(x)=

24

3x+4

∴該公司一年用于該產品的廣告費用與促銷費用總和f（x）=0.5x+

24

3x+4

；
（2）求導數可得f′（x）=0.5-

72

(3x+4)2

，令f′（x）=0，可得x=

8

3

（負值舍去）
∵函數在（0，

8

3

）上單調遞減，在（(

8

3

，+∞)上單調遞增
∴x=

8

3

時，函數取得極小值，且為最小值
∴當月銷售量是

8

3

萬件時該公司一年用于該產品的廣告費用與促銷費用總和f（x）最少．

點評：本題考查函數模型的建立，考查導數知識的運用，確定函數解析式是關鍵．