Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，a1=

1

4

，且2S_n=2S_n-1+2a_n-1+1（n≥2，n∈N*）．數列{b_n}滿足b1=

3

4

，且3b_n-b_n-1=n（n≥2，n∈N^*）．
（Ⅰ）求證：數列{a_n}為等差數列；
（Ⅱ）求證：數列{b_n-a_n}為等比數列；
（Ⅲ）求數列{b_n}的通項公式以及前n項和T_n．

Answer 1

分析：本題考查等差等比數列的證明、a_n與s_n的關系的研究、求通項公式和求前n項和公式，
（Ⅰ）根據2S_n=2S_n-1+2a_n-1+1（n≥2，n∈N*）．可以獲得an-an-1=

1

2

使問題得證．
（Ⅱ）根據所證，構造數列{b_n-a_n}，通過計算得

bn-an

bn-1-an-1

=

1

3

  (n≥2)，又b1-a1=

1

2

≠0，所以數列{b_n-a_n}為等比數列得證．
（Ⅲ）在（Ⅱ）的基礎上可以得到數列{b_n-a_n}的通項公式，又根據（Ⅰ）數列{a_n}的通項公式可求，所以數列{b_n}可求，進而可以求得前n項和．

解答：（Ⅰ）證明：∵2S_n=2S_n-1+2a_n-1+1（n≥2，n∈N*），
∴當n≥2時，2a_n=2a_n-1+1，
可得an-an-1=

1

2

．
∴數列{a_n}為等差數列．（4分）
（Ⅱ）證明：∵{a_n}為等差數列，公差d=

1

2

，
∴an=a1+(n-1)×

1

2

=

1

2

n-

1

4

.（5分）
又3b_n-b_n-1=n（n≥2），
∴bn=

1

3

bn-1+

1

3

n(n≥2)，
∴bn-an=

1

3

bn-1+

1

3

n-

1

2

n+

1

4

=

1

3

bn-1-

1

6

n+

1

4

=

1

3

(bn-1-

1

2

n+

3

4

)
=

1

3

[bn-1-

1

2

(n-1)+

1

4

]
=

1

3

(bn-1-an-1).（8分）
又b1-a1=

1

2

≠0，
∴對n∈N*，b_n-a_n≠0，得

bn-an

bn-1-an-1

=

1

3

  (n≥2)．
∴數列{b_n-a_n}是首項為

1

2

公比為

1

3

等比數列．（9分）
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）得bn-an=

1

2

•(

1

3

)n-1，
∴b n=

n

2

-

1

4

+

1

2

•(

1

3

)n-1 (n∈N*)．（11分）
∵b1-a1+b2-a2++bn-an=

1 2 [1-( 1 3 )n]

1- 1 3

，
∴b1+b2++bn-(a1+a2++an)=

3

4

[1-(

1

3

)n]，
∴Tn-

n2

4

=

3

4

[1-(

1

3

)n]．
∴Tn=

n2

4

+

3

4

[1-(

1

3

)n]  (n∈N*)．（14分）

點評：本題綜合性強，過程多，運算量大，解題過程需要思路清晰，運算準確，尤其是在（Ⅰ）、（Ⅱ）的證明中，不可忽視n=1的情況，必須將其作為過程中的一部分；
在（Ⅲ）的求數列{b_n}的前n項和時，盡管數列{b_n}的通項公式已求出，可以直接求其和，但需要拆項分組求和，較為繁瑣，給出的解法以求出數列{b_n-a_n}、數列{a_n}的前n項和的基礎上再求，顯得運算簡便，值得借鑒．