Question

如圖，已知三棱錐O-ABC的側棱OA，OB，OC兩兩垂直，且OA=1，OB=OC=2，E是OC的中點．
（1）求異面直線BE與AC所成角的余弦值；
（2）求直線BE和平面ABC的所成角的正弦值．

Answer 1

分析：根據題中的條件可建立以O為原點，OB、OC、OA分別為X、Y、Z軸的空間直角坐標系然后利用空間向量進行求解：
（1）根據建立的空間直角坐標系求出

EB

，

AC

然后再利用向量的夾角公式cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m || n |

求出cos＜

EB

，

AC

＞然后根據cos＜

EB

，

AC

＞≥0則異面直線BE與AC所成角即為＜

EB

，

AC

＞，若cos＜

EB

，

AC

＞＜0則異面直線BE與AC所成角即為π-＜

EB

，

AC

＞進而可求出異面直線BE與AC所成角的余弦值．
（2）由（1）求出

EB

和平面ABC的一個法向量

n1

然后再利用向量的夾角公式cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m || n |

求出cos＜

EB

，

n1

＞再根據若cos＜

EB

，

n1

＞≥0則直線BE和平面ABC的所成角為

π

2

-＜

EB

，

n1

＞，若cos＜

EB

，

n1

＞＜0則直線BE和平面ABC的所成角為＜

EB

，

n1

＞-

π

2

然后再根據誘導公式和cos＜

EB

，

n1

＞的值即可求出直線BE和平面ABC的所成角的正弦值．

解答：解：（1）以O為原點，OB、OC、OA分別為X、Y、Z軸建立空間直角坐標系．
則有A（0，0，1）、B（2，0，0）、C（0，2，0）、E（0，1，0）…（3分）
∴

EB

=(2，-1，0)，

AC

=(0，2，-1)
∴COS＜＜

EB

，

AC

＞＞=

-2

5 •  5

=-

2

5

                …（5分）
所以異面直線BE與AC所成角的余弦為

2

5

…（6分）
（2）設平面ABC的法向量為

n1

=(x，y，z) 則

n1

⊥

AB

知

n1

•

AB

=2x-z=0

n1

⊥

AC

知

n1

•

AC

=2y-z=0取

n1

=(1，1，2)，…（8分）
則sin＜

EB

，

n1

＞=

30

30

…（10分）
故BE和平面ABC的所成角的正弦值為

30

30

…（12分）

點評：本題主要考察了空間中異面直線所成的角和直線與平面所成的角，屬立體幾何中的�？碱}型，較難．解題的關鍵是首先正確的建立空間直角坐標系然后可將異面直線所成的角轉化為所對應的向量的夾角或其補角而對于利用向量法求線面角關鍵是正確求解平面的一個法向量！