Question

若存在常數L，使得對任意x₁，x₂∈I且x₁≠x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤L|x₁-x₂|，則稱函數f（x）在區間I上滿足L-條件．
（1）求證：正弦函數f（x）=sinx在開區間(0，

π

2

)上滿足L-條件；
（2）如果存在實數M，使得|f'（x）|≤M在區間I上恒成立，那么函數f（x）在I上是否滿足L-條件？若滿足，給出證明；若不滿足，舉出反例．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=sinx在(0，

π

2

)上遞增可得_{式子|f（x1）-f（x2）|≤L|x1-x2|等價與}sinx₂-sinx₁≤Lx₂-Lx₁，進而可得結論成立．（2）存在實數M，使得|f'（x）|≤M在區間I上恒成立，那么函數f（x）在I上滿足L-條件，只要證明對任意x₁，x₂∈I且x₁≠x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤M|x₁-x₂|即可．

解答：（1）證明：要證存在常數L，使對任意x₁，x2∈(0，

π

2

)，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤L|x₁-x₂|．
不妨設x₁＜x₂，∵f（x）=sinx在(0，

π

2

)上遞增，∴上式等價于sinx₂-sinx₁≤Lx₂-Lx₁，
即sinx₁-Lx₁≥sinx₂-Lx₂，
轉化為證明存在常數L，使函數F（x）=sinx-Lx在(0，

π

2

)上遞減，再轉化為證明在(0，

π

2

)上，
F'（x）=cosx-L≤0恒成立，即cosx≤L恒成立，
由于在(0，

π

2

)上，恒有cosx≤1，故取L=1即可，證畢．
（2）如果存在實數M，使得|f'（x）|≤M在區間I上恒成立，那么函數f（x）在I上滿足L-條件，
即對任意x₁，x₂∈I且x₁≠x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤M|x₁-x₂|（*），這里L=M．證明如下：
不妨設x₁＜x₂，按f（x₁）與f（x₂）的大小關系分類：
2f（x₁）=f（x₂）3時，（*）4顯然成立；
②當f（x₁）＜f（x₂）時，考慮函數G（x）=f（x）-Mx，x∈I，
由于-M≤f'（x）≤M，故G'（x）=f'（x）-M≤0，從而G（x）在I上遞減，
又x₁＜x₂，所以G（x₁）≥G（x₂），即f（x₁）-Mx₁≥f（x₂）-Mx₂，
亦即f（x₂）-f（x₁）≤M（x₂-x₁），也就是（*）成立；
③當f（x₁）＞f（x₂）時，類似②，考慮函數H（x）=f（x）+Mx（x∈I）即可．（9分）
綜上所述，對任意x₁，x₂∈I且x₁≠x₂，都有（*），所以函數f（x）在I上滿足L-條件．
另解：利用Lagrange中值定理，對任意x₁，x₂∈I且x₁≠x₂，存在ξ∈I，使

f(x1)-f(x2)

x1-x2

=f′(ξ)，于是|

f(x1)-f(x2)

x1-x2

|=|f′(ξ)|≤M，即|f（x₁）-f（x₂）|≤M|x₁-x₂|．

點評：新概念題與恒成立問題是近年高考考查的重點也是學生學習的難點，新概念考查學生知識的組織能力，恒成立考查學生的函數應用能力．