Question

【題目】已知點是圓： 上任意一點，點與圓心關(guān)于原點對稱.線段的中垂線與交于點.

（1）求動點的軌跡方程；

（2）設(shè)點，若直線軸且與曲線交于另一點，直線與直線交于點，證明：點恒在曲線上，并求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）.（2）見解析.

【解析】試題分析：⑴根據(jù)題目條件并結(jié)合橢圓定義，即可求得動點的軌跡方程；

⑵設(shè)點坐標為，則點的坐標為，進而表示出直線與直線

交于點的坐標，即可證明點恒在橢圓上，設(shè)直線： ， ， ，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，化為關(guān)于的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系得到，代入三角形的面積公式，可得，利用換元法，即可求得面積的最大值。

解析：（1）由題意得， 點坐標為，因為為中垂線上的點，所以，

又，所以，

由橢圓的定義知， ， .

所以動點的軌跡方程： .

（2）證明：設(shè)點坐標為，則點的坐標為，且，

所以直線： ，即，

直線： ，即；

聯(lián)立方程組，解得， ，則

.

所以點恒在橢圓上.

設(shè)直線： ， ， ，

則由，消去整理得，

所以， ，

所以

，

從而

，

令，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，

故，所以，

即當時， 面積取得最大值，且最大值為.