Question

函數f（x）在（-∞，+∞）上為偶函數，且f（x+1）=-f（x），且在[-1，0]上是增函數，下面關于f（x）的判斷正確的是

 

．
①f（x）是周期函數；②f（x）的圖象關于直線x=1對稱；③f（x）在[0，1]上是增函數；④f（x）在[1，2]上是減函數；⑤f（2）=f（0）；⑥(

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2

，0)是一個對稱中心．

Answer 1

分析：先由偶函數在關于原點對稱的區間上單調性相反可得③錯，再由f（x+1）=-f（x）可得f（x+2）=f（x）周期為2判斷出①⑤對，以及④錯；利用f（x+2）=f（x）=f（-x），可得②對．而f（1-a）=-f（-a）=-f（a）可以判斷出⑥對．

解答：解：因為函數f（x）在（-∞，+∞）上為偶函數，且在[-1，0]上是增函數，故f（x）在[0，1]上是減函數；③錯；
因為f（x+1）=-f（x）?f（x+2）=-f（x+1）=f（x）．所以其周期T=2．①⑤對
∵f（x+2）=f（x）=f（-x），∴f（x）的圖象關于直線x=1對稱；②對
∵函數f（x）在[-1，0]上是增函數，T=2．∴f（x）在[1，2]上是增函數；④錯
∵（a，b）關于（

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，0）的對稱點為（1-a，-b）．而f（x+1）=-f（x）?f（1-a）=-f（-a）=-f（a）=-b，即（a，b）也在函數f（x）上，可得⑥對
故答案為：①②⑤⑥

點評：本題主要考查函數的奇偶性以及周期性和單調性的綜合，是對函數基本性質的綜合考查，屬于基礎題，但也是易錯題．本題的易錯點在于⑥的判斷上，一般要證明函數關于某個點中心對稱的話，其常用做法是：設出函數圖象上任意一點，證明這點關于已知點的對稱點也在函數圖象上即可．