Question

設m，n∈R，若直線（m+1）x+（n+1）y-2=0與圓（x-1）²+（y-1）²=1相切，則m+n的取值范圍是

（-∞，2-2

2

]∪[2+2

2

，+∞）

．

Answer 1

分析：由圓的標準方程找出圓心坐標和半徑r，由直線與圓相切時，圓心到直線的距離等于圓的半徑，利用點到直線的距離公式列出關系式，整理后利用基本不等式變形，設m+n=x，得到關于x的不等式，求出不等式的解集得到x的范圍，即為m+n的范圍．

解答：解：由圓的方程（x-1）²+（y-1）²=1，得到圓心坐標為（1，1），半徑r=1，
∵直線（m+1）x+（n+1）y-2=0與圓相切，
∴圓心到直線的距離d=

|m+n|

(m+1)2+(n+1)2

=1，
整理得：m+n+1=mn≤（

m+n

2

）^₂，
設m+n=x，則有x+1≤

x2

4

，即x²-4x-4≥0，
∵x²-4x-4=0的解為：x₁=2+2

2

，x₂=2-2

2

，
∴不等式變形得：（x-2-2

2

）（x-2+2

2

）≥0，
解得：x≥2+2

2

或x≤2-2

2

，
則m+n的取值范圍為（-∞，2-2

2

]∪[2+2

2

，+∞）．
故答案為：（-∞，2-2

2

]∪[2+2

2

，+∞）．

點評：此題考查了直線與圓的位置關系，涉及的知識有：點到直線的距離公式，基本不等式，以及一元二次不等式的解法，利用了轉化及換元的思想，當直線與圓相切時，圓心到直線的距離等于圓的半徑，熟練掌握此性質是解本題的關鍵．