Question

已知函數f（x）=2cos

x

2

(

3

cos

x

2

-sin

x

2

)，在△ABC中，AB=1，f（C）=

3

+1，且△ABC的面積為

3

2

．
（1）求角C的值；
（2）（理科）求sinA•sinB的值．
（文科）求△ABC的周長．

Answer 1

分析：（1）利用已知條件f（C）=

3

+1，函數f（x）=2cos

x

2

(

3

cos

x

2

-sin

x

2

)，通過兩角差的正弦函數，求出C的三角函數，求出C的值．
（2）理科利用三角形的面積以及正弦定理化簡求解sinA•sinB的值．
文科：通過三角形的面積，余弦定理直接求出a+b的平方，利用周長求解即可．

解答：解：（1）由f（C）=

3

+1得f（C）=2cos

C

2

(

3

cos

C

2

-sin

C

2

)=

3

+1
sinC-

3

cosC=-1                            …2分
sin（C-

π

3

）=-

1

2

                                   …4分
所以C-

π

3

=-

π

6

，C=

π

6

                        …6分
（2）（理科） S_△ABC=

3

2

=

1

2

ab•

1

2

⇒ab=2

3

                   …8分
設外接圓半徑為R，則

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=2R=

1

0.5

=2          …11分
所以sinA•sinB=

a

2

•

b

2

=

ab

4

=

3

2

                          4分
（文科）S_△ABC=

3

2

=

1

2

ab•

1

2

⇒ab=2

3

                        …8分
c²=1=a²+b²-2abcos

π

6

=a²+b²-6，所以a²+b²=7            …10分
（a+b）²=a²+b²+2ab=7+4

3

 所以a+b=2+

3

               …12分
所以周長 C_△ABC=3+

3

．…14分．

點評：本題考查解三角形，正弦定理與余弦定理的應用，三角函數中的恒等變換應用，考查計算能力．