Question

【題目】設函數．

求函數的單調區間和極值．

若函數在區間內恰有兩個零點，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)見解析； (2)

【解析】

求出函數的導數，通過討論a的范圍，求出函數的單調區間和極值即可；

通過討論a的范圍，若滿足在區間內恰有兩個零點，需滿足，解出即可．

由，得，

當時，，函數在上單調遞增，函數無極大值，也無極小值；

當時，由，得或舍去．

于是，當x變化時，與的變化情況如下表：

x
		0
	遞減		遞增

所以函數的單調遞減區間是，單調遞增區間是．

函數在處取得極小值，無極大值．

綜上可知，當時，函數的單調遞增區間為，函數既無極大值也無極小值；

當時，函數的單調遞減區間是，單調遞增區間為，

函數有極小值，無極大值．

當時，由知函數在區間上單調遞增，

故函數在區間上至多有一個零點，不合題意．

當時，由知，當時，函數單調遞減；

當時，函數單調遞增，

所以函數在上的最小值為．

若函數在區間內恰有兩個零點，

則需滿足，即整理得，所以．

故所求a的取值范圍為