Question

某地區(qū)的一種特色水果上市時間能持續(xù)5個月，預測上市初期和后期會因供不應求使價格呈連續(xù)上漲態(tài)勢，而中期又將出現(xiàn)供大于求使價格連續(xù)下跌，現(xiàn)有三種價格模擬函數(shù)：①f（x）=p•q^x；②f（x）=log_qx+p；③f（x）=（x-1）（x-q）²+p（以上三式中p、q均為常數(shù)，且q＞2）．
（1）為準確研究其價格走勢，應選哪種價格模擬函數(shù)，為什么？
（2）若f（1）=4，f（3）=6，①求出所選函數(shù)f（x）的解析式（注：函數(shù)的定義域是[1，6]．其中x=1表示4月1日，x=2表示5月1日，…，以此類推）；②為保證果農(nóng)的收益，打算在價格下跌期間積極拓寬外銷，請你預測該水果在哪幾個月內(nèi)價格下跌．

Answer 1

分析：（1）欲找出能較準確反映數(shù)學成績與考試序次關(guān)系的模擬函數(shù)，主要依據(jù)是呈現(xiàn)前幾次與后幾次均連續(xù)上升，中間幾次連續(xù)下降的趨勢，故可從三個函數(shù)的單調(diào)上考慮，前面兩個函數(shù)沒有出現(xiàn)兩個遞增區(qū)間和一個遞減區(qū)間，應選f（x）=（x-1）（x-q）²+p為其成績模擬函數(shù)．
（2）由題中條件：f（0）=4，f（2）=6，得方程組，求出p，q即可，從而得到f（x）的解析式
（3）利用導數(shù)即可預測該果品在哪幾個月份內(nèi)價格下跌．

解答：解：（1）因為f（x）=pq^x，f（x）=log_q^x+q是單調(diào)函數(shù)，f（x）=（x-1）（x-q）²+q中，
f′（x）=3x²-（4q+2）+q²+2q，令f′（x）=0，得x=q，x=

q+2

3

，f（x）有兩個零點，可以出現(xiàn)兩個遞增區(qū)間和一個遞減區(qū)間，所以應選f（x）=（x-1）（x-q）²+p為其成績模擬函數(shù)．
（2）（1）由f（1）=4，f（3）=6，得

p=4 2(2-q)2 又q＞2

+p=6得

p=4 q=4

f（x）=x³+9x²+24x-12（1≤x≤12，且x∈Z）．
（2）由f′（x）=3x²+18x+24＜0得：5≤x≤6，
預測該果品在5、6月份內(nèi)價格下跌．

點評：本小題主要考查函數(shù)模型的選擇與應用，屬于基礎(chǔ)題．解決實際問題通常有四個步驟：（1）閱讀理解，認真審題；（2）引進數(shù)學符號，建立數(shù)學模型；（3）利用數(shù)學的方法，得到數(shù)學結(jié)果；（4）轉(zhuǎn)譯成具體問題作出解答，其中關(guān)鍵是建立數(shù)學模型．