Question

已知函數f（x）=x³+ax²+bx+5，在曲線y=f（x）上的點P（1，f（1））處的切線與直線y=3x+2平行．
（1）若函數y=f（x）在x=-2時取得極值，求a，b的值；
（2）若函數y=f（x）在區間（-2，1）上單調遞增，求b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先對函數進行求導，根據函數f（x）在x=2取得極值和x=1的切線斜率為3，列出方程組即可求出a、b的值；
（2）由于函數y=f（x）在區間（-2，1）上單調遞增，則f′（x）＞0在區間（-2，1）上恒成立，亦即b＞-

3x2

1-x

在（-2，1）恒成立，只需使b＞(-

3x2

1-x

)最大值即可．

解答：解：（1）函數f（x）的導函數是f′（x）=3x²+2ax+b
由題意可知：

f′(-2)=0 f′(1)=3

即

12-4a+b=0  3+2a+b=3

，
解得：a=2，b=-4．
（2）由于f′（x）=3x²+2ax+b，且2a+b=0
則f′（x）=3x²-bx+b
由于函數y=f（x）在區間（-2，1）上單調遞增，
則f′（x）=3x²-bx+b＞0在區間（-2，1）上恒成立，
即b＞-

3x2

1-x

在（-2，1）恒成立
由于-2＜x＜1，則1-x＞0
又由-

3x2

1-x

=-

3(1-x)2-6(1-x)+3

1-x

=-[3(1-x)+

3

1-x

-6]≤-（6-6）=0 
故b的取值范圍為b＞0

點評：本題主要考查函數在某點取得極值的條件和導數的幾何意義，體現了解方程的思想方法，