Question

（2006•靜安區二模）設函數f（x）=a^x+3a（其中a＞0且a≠1）．
（1）求函數y=f^-1（x）的解析式；
（2）設g（x）=log_a（x-a），是否存在實數a，使得當x∈[a+2，a+3]時，恒有|f^-1（x）+g（x）|≤1成立？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）將y=a^x+3a作為方程利用指數式和對數式的互化解出x，然后確定原函數的值域即為反函數的定義域；
（2）設h（x）=f^-1（x）+g（x），然后求出h（x）在閉區間[a+2，a+3]上的最小值與最大值分，使最大值與最小值都小于等于，建立不等式組進行求解即可．

解答：解：（1）設y=a^x+3a，則a^x=y-3a…（2分），
兩邊取對數得：x=log_a（y-3a）…（4分），
所以f^-1（x）=log_a（x-3a）…（6分）
（2）因為x∈[a+2，a+3]時，函數有意義，所以（a+2）-3a=2-2a＞0，所以0＜a＜1，…（7分）
設h（x）=f^-1（x）+g（x），則h(x)=loga(x2-4ax+3a2)，二次函數u=x²-4ax+3a²的對稱軸為x=2a＜2，
所以u=x²-4ax+3a²在x∈[a+2，a+3]上為增函數，
當x=a+2時，取得最小值4（1-a），當x=a+3時取得最大值3（3-2a）…（9分）
從而可得h(x)=loga(x2-4ax+3a2)在閉區間[a+2，a+3]上的最小值與最大值分別為log_a3（3-2a），log_a4（1-a）…（11分）
當x∈[a+2，a+3]時，恒有|f^-1（x）+g（x）|≤1成立的充要條件為

0＜a＜1 loga4(1-a)≤1 loga3(3-2a)≥-1

，…（13分）   
 解得0＜a≤

9- 57

12

．   …（14分）

點評：本題主要考查了函數解析式求解，以及反函數和函數恒成立問題的求解，同時考查了分析問題的能力和運算求解的能力，屬于中檔題．