Question

如圖，兩條線段AB、CD所在的直線是異面直線，CD平面α,AB∥α,M、N分別是AC、BD的中點，且AC是AB、CD的公垂線段.

(1)求證：MN∥α；

(2)若AB=CD=a,AC=b,BD=c，求線段MN的長.

Answer 1

(1)證明:過B作BB′⊥α,垂足為B′，連結CB′、DB′，設E為B′D的中點，

    連結NE、CE，則NE∥BB′且NE=BB′，又AC=BB′，

    ∴MCNE,

    即四邊形MCEN為平行四邊形(矩形).

    ∴MN∥CE.

    又CEα,MNα,

    ∴MN∥α.

(2)解：由(1)知MN=CE，AB=CB′=a=CD，B′D==，

    ∴CE==，

    即線段MN的長為.