Question

已知數列{a_n}中，a₁=1，a1+2a2+3a3+…+nan=

n+1

2

an+1(n∈N*)．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）求數列{n²a_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由a₁=1，a1+2a2+3a3+…+nan=

n+1

2

an+1(n∈N*)．知

an+1

an

=

3n

n+1

，a₂=1，所以a_n+1=a2×

a3

a2

×

a4

a3

×…×

an+1

an

=1×(3×

2

3

)×(3×

3

4

)×…×(3×

n

n+1

)=3n-1×

2

n+1

，由此能求出an=

1，n=1 3n-2• 2 n ，n≥2

．
（Ⅱ）由an=

1，n=1 3n-2• 2 n ，n≥2

．知n²a_n=

1，n=1 2n•3n-2，n≥2

，所以T_n=1+4×3⁰+6×3+8×3²+…+2n•3^n-2，再由錯位相減法能求出T_n．

解答：解：（Ⅰ）∵a₁=1，a1+2a2+3a3+…+nan=

n+1

2

an+1(n∈N*)．
∴a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1=

n

2

an，
∴na_n=

n+1

2

an+1-

n

2

an，
∴

an+1

an

=

3n

n+1

，
在a₁=1，a1+2a2+3a3+…+nan=

n+1

2

an+1(n∈N*)，
取n=1，得a₂=1，
∴a_n+1=a2×

a3

a2

×

a4

a3

×…×

an+1

an

=1×(3×

2

3

)×(3×

3

4

)×…×(3×

n

n+1

)
=3n-1×

2

n+1

，
∴an=

1，n=1 3n-2• 2 n ，n≥2

．
（Ⅱ）∵an=

1，n=1 3n-2• 2 n ，n≥2

．
∴n²a_n=

1，n=1 2n•3n-2，n≥2

，
∴T_n=1+4×3⁰+6×3+8×3²+…+2n•3^n-2，①
3T_n=3+4×3+6×3²+8×3³+…+2（n-1）•3^n-2+2n•3^n-1，②
①-②，得-2T_n=-2+4+2×（3+3²+3³+…+3^n-2）-2n×3^n-1
=2+2×

3(1-3n-2)

1-3

-2n×3^n-1
=2+3^n-1-3-2n×3^n-1
=3^n-1-1-2n×3^n-1
∴T_n=

1

2

+n×3^n-1-

3n-1

2

．

點評：本題考查數列的通項公式的求法和數列的前n項和的計算，解題時要認真審題，注意構造法、累乘法和錯位相減法的靈活運用．