Question

如圖，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，△ABE為等腰三角形，AE=BE，平面ABCD⊥平面ABE，點F在CE上，且BF⊥平面ACE．
（Ⅰ）證明：平面ADE⊥平面BCE；
（Ⅱ）求點D到平面ACE的距離．

Answer 1

分析：（I）由線面垂直的性質及BF⊥平面ACE，可得BF⊥AE，由面面垂直的性質及平面ABCD⊥平面ABE，可得BC⊥平面ABE，結合線面垂直的判定定理可得AE⊥平面BCE，最后由面面垂直的判定定理得到平面ADE⊥平面BCE；
（Ⅱ）由BD交平面ACE的交點為BD的中點，可是點D與點B到平面ACE的距離相等，進而根據BF⊥平面ACE，所以BF為點B到平面ACE的距離，解三角形ABE和三角形CBE可得答案．

解答：證明：（Ⅰ）∵BF⊥平面ACE，AE?平面ACE，
∴BF⊥AE…（2分）
又∵平面ABCD⊥平面ABE，平面ABCD∩平面ABE=AB，BC⊥AB
∴BC⊥平面ABE，
從而，BC⊥AE，且BC∩BF=B，
∴AE⊥平面BCE，…（5分）
又AE?平面ADE，
故平面平面ADE⊥平面BCE．…（6分）
解：（Ⅱ）如圖，連接BD交AC于點M，則點M是BD的中點，
所以點D與點B到平面ACE的距離相等．
因為BF⊥平面ACE，所以BF為點B到平面ACE的距離．…（8分）
因為AE⊥平面BCE，所以AE⊥BE．
又因為AE=BE所以△AEB是等腰直角三角形，
因為AB=2，所以BE=2sin45°=

2

，…（9分）
又在Rt△CBE中，CE=

BC2+BE2

=

6

，
所以BF=

BC×BE

CE

=

2 3

3

．
故點D到平面ACE的距離是

2 3

3

．…（12分）

點評：本題考查的知識點是平面與平面垂直的判定及性質，點到平面的距離運算，其中（I）的關鍵是熟練掌握空間線線垂直，線面垂直，面面垂直的轉化，（II）的關鍵是將D到平面的距離轉化為B到平面的距離．