Question

【題目】已知函數．

（1）討論的單調性；

（2）當時，，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）答案見解析；（2）.

【解析】

（1）先求函數的定義域，再利用導數對函數進行求導，對參數分和兩種情況討論后，得到函數的單調區間；

（2）先證當不等式在不會成立，再進一步證明時，在單調遞減，在單調遞增．再對分和兩種情況，研究各自的最小值大于等于，從而求得的取值范圍.

（1）函數的定義域為，

，

當時，，則，故在單調遞減；

當時，令，得；令，得，

故在上單調遞減，在單調遞增.

綜上，可得當時，在單調遞減；

當時，在單調遞減，在單調遞增.

（2）①當時，因為，所以不符合題意；

②當時，由（1），知在單調遞減，在單調遞增．

（ⅰ）當即時，，所以在單調遞增，

故，故滿足題意.

（ⅱ）當即時，在單調遞減，在單調遞增，

故，　

當時，，當且僅當，

令，則，故在單調遞減，

又，從而由即，可得，解得，

綜上，可得的取值范圍為．