Question

省《體育高考方案》于2012年2月份公布，方案要求以學校為單位進行體育測試，某校對高三1班同學按照高考測試項目按百分制進行了預備測試，并對50分以上的成績進行統計，其頻率分布直方圖如圖所示，若90～100分數段的人數為2人.

(Ⅰ) 請估計一下這組數據的平均數M；
(Ⅱ) 現根據初賽成績從第一組和第五組(從低分段到高分段依次為第一組、第二組、…、第五組)中任意選出兩人，形成一個小組.若選出的兩人成績差大于20，則稱這兩人為“幫扶組”，試求選出的兩人為“幫扶組”的概率.

Answer 1

（Ⅰ）73；（Ⅱ）選出的兩人為“幫扶組”的概率為.

試題分析：（Ⅰ）根據頻率分布直方圖求平均數的公式為，其中為第組數據的頻率，是第組數據的中間值.各組的頻率等于小矩形的面積，由此求出各組數據的頻率代入以上公式即得平均數.
（Ⅱ） 90～100分數段的人數為2人，據此可求得總人數為，再根據頻率求得50～60分數段的人數為40×0.1=4人.將第一組和第五組的同學編號，然后一一列舉出所有可能結果. 兩人成績差大于20，則這兩人分別來自第一組和第五組，數出其中的個數，利用古典概型概率公式便得所求概率.
試題解析：（Ⅰ） 由頻率分布直方圖可知：50～60分的頻率為0.1，60～70分的頻率為0.25，
70～80分的頻率為0.45，80～90分的頻率為0.15，90～100分的頻率為0.05；      2分
∴這組數據的平均數M=55×0.1+65×0.25+75×0.45+85×0.15+95×0.05=73（分）.       4分
（Ⅱ） ∵90～100分數段的人數為2人，頻率為0.05；
∴參加測試的總人數為 =40人，              5分
∴50～60分數段的人數為40×0.1=4人，             6分
設第一組50～60分數段的同學為A₁,A₂,A₃,A₄；第五組90～100分數段的同學為B₁,B₂    7分
則從中選出兩人的選法有：
(A₁，A₂)，(A₁，A₃),(A₁，A₄),(A₁，B₁),(A₁，B₂),(A₂，A₃),(A₂，A₄),(A₂，B₁),(A₂，B₂),(A₃，A₄),(A₃，B₁),
(A₃，B₂),(A₄，B₁),(A₄，B₂),(B₁，B₂)，共15種；               9分
其中兩人成績差大于20的選法有：(A₁,B₁)，(A₁,B₂)，(A₂,B₁),(A₂,B₂),
(A₃,B₁),(A₃,B₂),(A₄,B₁),(A₄,B₂)共8種               11分
則選出的兩人為“幫扶組”的概率為P=            12分