Question

【題目】如圖，已知底角為45°的等腰梯形ABCD，底邊BC長為12，腰長為4 ，當一條垂直于底邊BC（垂足為F）的直線l從左至右移動（與梯形ABCD有公共點）時，直線l把梯形分成兩部分．

（1）令BF=x（0＜x＜12），試寫出直線右邊部分的面積y與x的函數解析式；
（2）在（1）的條件下，令y=f（x）．構造函數g（x）= ．
①判斷函數g（x）在（4，8）上的單調性；
②判斷函數g（x）在定義域內是否具有單調性，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：過點A．D分別作AG⊥BC，DH⊥BC，垂足分別是G，H．

∵ABCD是等腰梯形，底角為45°，AB=4 cm，

∴BG=AG=DH=HC=4cm，

又∵BC=12cm，

∴AD=GH=4cm，

①當點F在BG上時，

即x∈（0，4]時，f（x）=32﹣ x2；

②當點F在GH上時，

即x∈（4，8]時，f（x）=8+4（8﹣x）=40﹣4x．

③當點F在HC上時，

即x∈（8，12）時，y=S五邊形ABFED=S梯形ACD﹣S三角形CEF

f（x）= （12﹣x）2，

∴函數解析式為f（x）=

（2）解：g（x）= ，

①由二次函數的性質可知，函數g（x）在（4，8）上是減函數．

②雖然g（x）在（0，4）和（4，8）單調遞減，

但是g（3.9）=24.395，g（4.1）=44.84，

∴g（3.9）＜g（4.1）．

因此函數g（x）在定義域內不具有單調性．

【解析】（1）可以通過分類討論明確圖形的特征，再根據圖形形狀求出函數的解析式；（2）可以求出函數g（x）的解析式，①由解析式即可得到判斷函數的單調性，②分別求出g（3.9）=24.395，g（4.1）=44.84，比較即可．