Question

函數f（x）=-x（x-a）²（x∈R），
（1）當a＞0時，求函數f（x）的極大值和極小值；
（2）當a＞3時，求對于任意實數k∈[-1，0]，使得不等式f（k-cosx）≥f（k²-cos²x）恒成立的x取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=-x（x-a）²，知f'（x）=-3x²+4ax-a²，令f'（x）=0，解得x=

a

3

或x=a．列表討論，能求出函數f（x）的極大值和極小值．
（2）由a＞3，得

a

3

＞1，當k∈[-1，0]時，k-cosx≤1，k²-cos²x≤1．由f（x）在（-∞，1]上是減函數，知要使f（k-cosx）≥f（k²-cos²x），只要cos²x-cosx≤k²-k對一切k∈[-1，0]恒成立．由此能求出使得不等式f（k-cosx）≥f（k²-cos²x）恒成立的x取值范圍．

解答：解：（1）∵f（x）=-x（x-a）²=-x³+2ax²-a²x，
∴f'（x）=-3x²+4ax-a²=-（3x-a）（x-a），
令f'（x）=0，
解得x=

a

3

或x=a．…（3分）
∵a＞0，∴當x變化時，f'（x）的正負如下表：

x	(-∞， a 3 )	a 3	( a 3 ，a)	a	（a，+∞）
f'（x）	-	0	+	0	-

…（6分）
因此，函數f（x）在x=

a

3

處取得極小值f(

a

3

)，且f(

a

3

)=-

4

27

a3；
函數f（x）在x=a處取得極大值f（a），且f（a）=0．…（8分）
（2）由a＞3，得

a

3

＞1，
當k∈[-1，0]時，k-cosx≤1，k²-cos²x≤1．
由（1）知，f（x）在（-∞，1]上是減函數，
要使f（k-cosx）≥f（k²-cos²x），
只要k-cosx≤k²-cos²x（x∈R），
即cos²x-cosx≤k²-k對一切k∈[-1，0]恒成立．
令g（k）=k²-k，當k∈[-1，0]，
g（k）_min=0，
∴cos²x-cosx≤0，解得0≤cosx≤1，
即2kπ-

π

2

≤x≤2kπ+

π

2

，k∈Z…（12分）

點評：本題考查求函數f（x）的極大值和極小值，求對于任意實數k∈[-1，0]，使得不等式f（k-cosx）≥f（k²-cos²x）恒成立的x取值范圍．考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數與方程思想，化歸與轉化思想．對數學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，易出錯．