Question

【題目】如圖，已知多面體中，，平面，，，，.

（Ⅰ）證明：平面；

（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見證明；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）由余弦定理得PB，從而PB⊥AB，由AD⊥平面PAB，得AD⊥PB，再由PB⊥AB，能證明PB⊥平面ABCD．

（Ⅱ）由余弦定理求出cos∠PDC，從而sin∠PCD，S△ACD＝2，設(shè)直線PA與平面PCD所成角為θ，點(diǎn)A到平面PCD的距離為h，由VA﹣PDC＝VP﹣ACD，得h，從而sinθ，由此能求出直線PA與平面PCD所成角的正弦值．

（Ⅰ）在中，，，，

所以，，

所以，，

因?yàn)?/span>，所以，，，四點(diǎn)共面.

又平面，平面，

所以.

又，，

所以平面.

（Ⅱ）（方法一）在中，，

在中，.

在直角梯形中，.

在中，

，.

所以，.

設(shè)直線與平面所成的角為，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，

因?yàn)?/span>，所以，即，

所以，，

故直線與平面所成的角的正弦值為.

（方法二）由（Ⅰ）知，平面，.

以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，所在直線分別為，，軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，

所以，，.

設(shè)直線與平面所成的角為，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

由得取，

則，，所以.

所以 ，

故直線與平面所成的角的正弦值為.

（方法三）延長，相交于點(diǎn)，連結(jié).

因?yàn)?/span>，，所以為的中位線，

點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn).所以為等腰三角形.

取中點(diǎn)，連，.

所以，，，

所以平面，又平面，所以平面平面.

作于，連，所以平面.

所以就是直線與平面所成的角.

因?yàn)?/span>，，，

所以，所以.

所以，

故直線與平面所成的角的正弦值為.