Question

在平面直角坐標系xOy中，已知圓x²+y²=4上恰有兩個點到直線4x-3y+c=0的距離為1，則實數c的取值范圍是

（-15，-5）∪（5，15）

．

Answer 1

分析：由條件求出圓心，求出半徑，由數形結合，只需圓心到直線的距離d大于半徑與1的差小于半徑與1的和即可．

解答：解：由已知可得：圓半徑為2，圓心為（0，0）
故圓心（0，0）到直線4x-3y+c=0的距離為：d=

|c|

42-(-3)2

=

|c|

5

如圖中的直線m恰好與圓由3個公共點，此時d=OA=2-1，
直線n與圓恰好有1個公共點，此時d=OB=2+1=3，當直線介于m、n之間滿足題意．
故要使圓x²+y²=4上恰有兩個點到直線4x-3y+c=0的距離為1，
只需d大于1小于3，即1＜

|c|

5

＜3，
解得：-15＜c＜-5，或5＜c＜15
故c的取值范圍是：（-15，-5）∪（5，15））．
故答案為：（-15，-5）∪（5，15）

點評：本題考查圓與直線的位置關系，數形結合得出數量關系是解決問題的關鍵，屬中檔題．