Question

已知數列{a_n}為等差數列，a₁=2，且其前10項和為65，又正項數列{b_n}滿足．
（1）求數列{b_n}的通項公式；
（2）比較b₁，b₂，b₃，b₄的大小；
（3）求數列{b_n}的最大項．

Answer 1

【答案】分析：（1）設{a_n}的公差為d，則，再由a₁=2，得d=1，由此能夠求出數列{b_n}的通項公式．
（2），，由此能夠判斷b₁，b₂，b₃，b₄的大小．
（3）猜想當n≥2時，．函數中，，故在（e，+∞）上是減函數，所以．猜想正確，因此，數列{b_n}的最大項是．
解答：解：（1）設{a_n}的公差為d，則，又a₁=2，得d=1，從而a_n=n+1
故．（4分）
（2），
，
，
∴b₂＞b₁=b₃＞b₄．（8分）
（3）由（2）猜想{b_n+1}遞減，即猜想當n≥2時，．（10分）
考察函數，
則，∵x＞e時，lnx＞1，∴y'＜0，
故在（e，+∞）上是減函數，而n+1≥3＞e，（12分）
所以，即．
猜想正確，因此，數列{b_n}的最大項是．（14分）
點評：自從導數走進高考試題中，就和函數形影不離，并且與方程、數列、解析幾何以及立體幾何等分支的知識聯姻，成為高考的一道亮麗的風景線．預計導數還會與平面向量、概率與統計等分支的知識聯合，展示其獨特的魅力．