Question

已知點F₁、F₂分別是雙曲線的左、右焦點，過F₁垂直于x軸的直線與雙曲線交于A、B兩點，若△ABF₂為銳角三角形，則雙曲線的離心率e的取值范圍是    ．

Answer 1

【答案】分析：先求出A，B兩點的縱坐標(biāo)，由△ABF₂是銳角三角形知，tan∠AF₂F₁=＜1，e²-2e-1＜0，解不等式求出e 的范圍．
解答：解：在雙曲線 中，
令x=-c 得，y=±，∴A，B兩點的縱坐標(biāo)分別為±．
由△ABF₂是銳角三角形知，∠AF₂F₁＜，tan∠AF₂F₁=＜tan =1，
∴＜1，c²-2ac-a²＜0，e²-2e-1＜0，∴1-＜e＜1+．
又 e＞1，∴1＜e＜1+，
故答案為：（1，1+）．
點評：本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，判斷∠AF₂F₁＜，tan =＜1，是解題的關(guān)鍵．