Question

若S_n是公差不為0的等差數列{a_n}的前n項和，則S₁，S₂，S₄成等比數列．
（1）求數列S₁，S₂，S₄的公比；
（2）若S₂=4，求{a_n}的通項公式；
（3）在（2）條件下，若b_n=a_n-14，求{|b_n|}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）利用等差數列與等比數列的定義及其通項公式即可得出；
（2）利用等差數列的通項公式即可得出；
（3）通過分類討論，利用等差數列的前n項和公式即可得出．

解答：解：（1）設等差數列{a_n}的公差為d，
由

S

2 2

=S₁S₄得出（2a₁+d）²=a₁（4a₁+6d），化為d=2a₁．
得

S2

S1

=

2a1+d

a1

=4，
∴數列S₁，S₂，S₄的分比為4．
（2）由S₂=4=2a₁+d=4a₁得出a₁=1，d=2，
∴a_n=2n-1．
（3）由（2）可得b_n=2n-1-14=2n-15．
令b_n=2n-15＞0，
得n＞

15

2

，
∴當n≤7時，T_n=-[（2-15）+（4-15）+…+（2n-15）]=-（2×

n(n+1)

2

-15n）=14n-n²；
當n≥8時，T_n=-b₁-b₂-…-b₇+b₈+…+bn
=b₁+b₂+…+b_n-2（b₁+b₂+…+b₇）
=

n(-13+2n-15)

2

+2T₇
=n²-14n+98．
∴Tn=

14n-n2，n≤7 n2-14n+98，n≥8

．

點評：熟練掌握等差數列與等比數列的定義及其通項公式、分類討論、等差數列的前n項和公式等是解題的關鍵．