Question

設0＜x＜1，a＞0，a≠1，比較|log_a（1-x）|與|log_a（1+x）|的大小（要寫出比較過程）．

Answer 1

分析：此題有兩種比較大小的方法①做差比較大小②做商比較大小，解本題的另一關鍵不要忽視對a的分類討論．

解答：解一：當a＞1時，
|log_a（1-x）|=-log_a（1-x），|log_a（1+x）|=log_a（1+x），
|log_a（1-x）|-|log_a（1+x）|=-[log_a（1-x）+log_a（1+x）]=-log_a（1-x²）．
∵a＞1，0＜1-x²＜1，∴-log_a（1-x²）＞0，
∴|log_a（1-x）|＞|log_a（1+x）|．
當0＜a＜1時，
|log_a（1-x）|=log_a（1-x），|log_a（1+x）|=-log_a（1+x），
|log_a（1-x）|-|log_a（1+x）|=log_a（1-x²）．
∵0＜a＜1，0＜1-x²＜1，∴log_a（1-x²）＞0，
∴|log_a（1-x）|＞|log_a（1+x）|．
因此當0＜x＜1，a＞0，a≠1時，總有|log_a（1-x）|＞|log_a（1+x）|．

解二：∵

|loga(1-x)|

|loga(1+x)|

=|

loga(1-x)

loga(1+x)

|=|log1+x(1-x)|，
∵1+x＞1，0＜1-x＜1，
原式=-log1+x(1-x)=log1+x

1

1-x

=log1+x

1+x

1-x2

=1-log1+x(1-x2)
∵1+x＞1，0＜1-x²＜1，log_1+x（1-x²）＜0
∴原式＞1，即

|loga(1-x)|

|loga(1+x)|

＞1，
∴|log_a（1-x）|＞|log_a（1+x）|．

點評：本題考查比較大小的問題，且兩種常見方法①做差比較大小②做商比較大小，均適用，具有代表性，同時考查了對數的運算及對底數的討論，比較典型．