Question

（2012•安徽模擬）已知

a

=(m，1)，

b

=(sinx，cosx)，f(x)=

a

•

b

且滿足f(

π

2

)=1．
（1）求函數y=f（x）的解析式及最小正周期；
（2）在銳角三角形ABC中，若f(

π

12

)=

2

sinA，且AB=2，AC=3，求BC的長．

Answer 1

分析：（1）由兩向量的坐標及f（x）=

a

•

b

，利用平面向量的數量積運算法則得出函數f（x）的解析式，根據f（

π

2

）=1，代入函數解析式，利用特殊角的三角函數值化簡，求出m的值，進而確定出函數f（x）的解析式，提取

2

，利用特殊角的三角函數值及兩角和與差的正弦函數公式化為一個角的正弦函數，找出ω的值，代入周期公式T=

2π

|ω|

，即可求出函數的最小正周期；
（2）由f(

π

12

)=

2

sinA，代入函數解析式，得出sinA的值，由A為銳角，利用特殊角的三角函數值求出A的度數，再由AB及AC的長，利用余弦定理即可求出BC的長．

解答：解：（1）∵

a

=（m，1），

b

=（sinx，cosx）且f（x）=

a

•

b

，
∴f（x）=msinx+cosx，又f（

π

2

）=1，
∴msin

π

2

+cos

π

2

=1，
∴m=1，
∴f（x）=sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

），
∴函數f（x）的最小正周期T=2π；
（2）∵f（

π

12

）=

2

sinA，
∴f（

π

12

）=

2

sin

π

3

=

2

sinA，
∴sinA=

3

2

，
∵A是銳角三角形ABC的內角，
∴A=

π

3

，又AB=2，AC=3，
∴由余弦定理得：BC²=AC²+AB²-2•AB•AC•cosA=3²+2²-2×2×3×

1

2

=7，
∴BC=

7

．

點評：此題屬于解三角形的題型，涉及的知識有：平面向量的數量積運算，兩角和與差的正弦函數公式，余弦定理，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．