Question

已知數列{a_n}的前三項分別為a₁＝5，a₂＝6，a₃＝8，且數列{a_n}的前n項和S_n滿足S_n＋m＝(S_2n＋S_2m)－(n－m)²，其中m，n為任意正整數．
(1)求數列{a_n}的通項公式及前n項和S_n；
(2)求滿足－a_n＋33＝k²的所有正整數k，n.

Answer 1

（1）S_n＝n²＋3n＋1，n∈N^*（2）n＝10，k＝131.

(1)在等式S_m＋n＝(S_2n＋S_2m)－(n－m)²中，分別令m＝1，m＝2，得
S_n＋1＝(S_2n＋S₂)－(n－1)²，①
S_n＋2＝ (S_2n＋S₄)－(n－2)²，②
②－①，得a_n＋2＝2n－3＋.(3分)
在等式S_n＋m＝(S_2n＋S_2m)－(n－m²)中，令n＝1，m＝2，得S₃＝(S₂＋S₄)－1，由題設知，S₂＝11，S₃＝19，故S₄＝29.
所以a_n＋2＝2n＋6(n∈N^*)，即a_n＝2n＋2(n≥3，n∈N^*)．
又a₂＝6也適合上式，故a_n＝ (5分)
S_n＝即S_n＝n²＋3n＋1，n∈N^*.(6分)
(2)記－a_n＋33＝k²(*)．
n＝1時，無正整數k滿足等式(*)．
n≥2時，等式(*)即為(n²＋3n＋1)²－3(n－10)＝k².(8分)
①當n＝10時，k＝131.(9分)
②當n＞10時，則k＜n²＋3n＋1，
又k²－(n²＋3n)²＝2n²＋3n＋31＞0，所以k＞n²＋3n.
從而n²＋3n＜k＜n²＋3n＋1.
又因為n，k∈N^*，所以k不存在，從而無正整數k滿足等式(*)．(12分)
③當n＜10時，則k＞n²＋3n＋1，因為k∈N^*，所以k≥n²＋3n＋2.
從而(n²＋3n＋1)²－3(n－10)≥(n²＋3n＋2)².
即2n²＋9n－27≤0.因為n∈N^*，所以n＝1或2.(14分)
n＝1時，k²＝52，無正整數解；
n＝2時，k²＝145，無正整數解．
綜上所述，滿足等式(*)的n，k分別為n＝10，k＝131.(16分)