Question

【題目】已知橢圓的左.右焦點分別為，為坐標原點.

（1）若斜率為的直線交橢圓于點，若線段的中點為，直線的斜率為，求的值；

（2）已知點是橢圓上異于橢圓頂點的一點，延長直線，分別與橢圓交于點，設直線的斜率為，直線的斜率為，求證：為定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見解析.

【解析】

（1）設出A，B點坐標，代入橢圓方程作差并整理，則可求出的值．

（2）設（），，先計算有一條直線斜率不存在對應的斜率之積的值，再討論一般情況，求出B，D坐標，化簡斜率得出結論．

（1）設，將，作差可得

，，，

所以；

（2）設（），，

當直線的斜率不存在時，設，則，

直線的方程為代入，可得

∴，，則，

∴直線的斜率為，直線的斜率為，

∴，當直線的斜率不存在時，同理可得.

當直線，的斜率存在時，，

設直線的方程為，則由消去可得：

，

又，則，代入上述方程可得

，

∴，

∴，則

∴，設直線的方程為，

同理可得

∴直線的斜率為，

∵直線的斜率為，

∴

所以直線與的斜率之積為定值，即.