Question

已知函數f（x）=a|x+1|+x（a∈R）．
（Ⅰ）當a=2時，f（x）在[b，+∞）上為增函數，求b的取值范圍；
（Ⅱ）若函數f （x）在 R 上具有單調性，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）當a=2時，f（x）=

3x+2，x≥-1 -x-2，x＜-1

，所以f（x）的單調遞增區間是[-1，+∞），根據f（x）在[b，+∞）上為增函數，可得[b，+∞）⊆[-1，+∞），從而可求b的取值范圍；
（Ⅱ）化簡f(x)=

(a+1)x+a，x≥-1  (1-a)x-a ，x  ＜   -1 .

再進行分類討論：①-1＜a＜1時，函數f （x） 在R上是增函數；②a=1或-1時，易知不合題意；③當a＞1，a＜1時，函數f（x）在R上不具有單調性，由此可得a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）當a=2時，f（x）=

3x+2，x≥-1 -x-2，x＜-1

，所以f（x）的單調遞增區間是[-1，+∞），
因為f（x）在[b，+∞）上為增函數，所以[b，+∞）⊆[-1，+∞），故b≥-1
（Ⅱ）化簡f(x)=

(a+1)x+a，x≥-1  (1-a)x-a ，x  ＜   -1 .

①-1＜a＜1時，
當x≥-1時，f（x）=（a+1）x+a是增函數，且f（x）≥f（-1）=-1；
當x＜-1時，f（x）=（1-a）x-a是增函數，且f（x）＜f（-1）=-1．
所以，當-1＜a＜1時，函數f （x） 在R上是增函數．
②a=1或-1時，易知不合題意．
③當a＞1時，f（x）在[-1，+∞）為增函數，而在（-∞，-1）上為減函數，故函數f（x）在R上不具有單調性；
同理，當a＜1時，函數f（x）在R上也不具有單調性．
綜上可知，a的取值范圍是 （-1，1）

點評：本題考查絕對值函數，考查函數的單調性，考查分類討論的數學思想，解題的關鍵是利用絕對值的幾何意義，將絕對值符號化去．