Question

在單調遞增數列{a_n}中，a₁=1，a₂=2，且a_2n-1，a_2n，a_2n+1成等差數列，a_2n，a_2n+1，a_2n+2成等比數列，n=1，2，3，…．
（1）分別計算a₃，a₅和a₄，a₆的值；
（2）求數列{a_n}的通項公式（將a_n用n表示）；
（3）設數列{

1

an

}的前n項和為S_n，證明：Sn＜

4n

n+2

，n∈N^*．

Answer 1

分析：（1）由a₁=1，a₂=2，且a_2n-1，a_2n，a_2n+1成等差數列，a_2n，a_2n+1，a_2n+2成等比數列遞推可得a₃=3，a₅=6，a4=

9

2

，a₆=8．
（2）由（1）猜想出通項公式，再用數學歸納法證明，要注意遞推的嚴密性，
（3）由（1）求得

1

an

=

8 (n+1)(n+3)  n為奇數 8 (n+2)2 ， n為偶數

，用數學歸納法證明Sn＜

4n

n+2

．

解答：解：（1）由已知，得a₃=3，a₅=6，a4=

9

2

，a₆=8．（2分）
（2）a1=

2

2

=

1×2

2

，a3=

6

2

=

2×3

2

，a5=

12

2

=

3×4

2

，；a2=

22

2

，a4=

32

2

，a6=

42

2

，．
∴猜想a2n-1=

n(n+1)

2

，a2n=

(n+1)2

2

，n∈N*，（4分）
以下用數學歸納法證明之．
①當n=1時，a_2×1-1=a₁=1，a2×1=

22

2

=2，猜想成立；
②假設n=k（k≥1，k∈N*）時，猜想成立，即a2k-1=

k(k+1)

2

，a2k=

(k+1)2

2

，
那么a2(k+1)-1=a2k+1=2a2k-a2k-1=2×

(k+1)2

2

-

k(k+1)

2

=

(k+1)[(k+1)+1]

2

，a2(k+1)=a2k+2=

a 2 2k+1

a2k

=

[(k+1)(k+2)]2 2

(k+1)2 2

=

(k+2)2

2

=

[(k+1)+1]2

2

．
∴n=k+1時，猜想也成立．
由①②，根據數學歸納法原理，對任意的n∈N*，猜想成立．（6分）
∴當n為奇數時，an=

n+1 2 ( n+1 2 +1)

2

=

(n+1)(n+3)

8

；
當n為偶數時，an=

( n 2 +1)2

2

=

(n+2)2

8

．
即數列{a_n}的通項公式為an=

(n+1)(n+3) 8   n為奇數 (n+2)2 8  ，n為偶數

．（9分）
（3）由（2），
得

1

an

=

8 (n+1)(n+3)   n為奇數 8 (n+2)2  ， n為偶數

．
以下用數學歸納法證明Sn＜

4n

n+2

，n∈N*．
①當n=1時，S1=

1

a1

=1＜

4

3

=

4×1

1+2

；
當n=2時，S2=

1

a1

+

1

a2

=1+

1

2

=

3

2

＜2=

4×2

2+2

．
∴n=1，2時，不等式成立．（11分）
②假設n=k（k≥2）時，不等式成立，即Sk＜

4k

k+2

，
那么，當k為奇數時，Sk+1=Sk+

1

ak+1

＜

4k

k+2

+

8

(k+3)2

=

4(k+1)

k+3

+4[

k

k+2

+

2

(k+3)2

-

k+1

k+3

]=

4(k+1)

k+3

-

8

(k+2)(k+3)2

＜

4(k+1)

(k+1)+2

；
當k為偶數時，Sk+1=Sk+

1

ak+1

＜

4k

k+2

+

8

(k+2)(k+4)

=

4(k+1)

k+3

+4[

k

k+2

+

2

(k+2)(k+4)

-

k+1

k+3

]=

4(k+1)

k+3

-

8

(k+2)(k+3)(k+4)

＜

4(k+1)

(k+1)+2

．
∴n=k+1時，不等式也成立．
由①②，根據數學歸納法原理，對任意的n∈N*，不等式Sn＜

4n

n+2

成立．（14分）

點評：本題主要考查等差數列、等比數列、遞推數列的有關概念，考查歸納推理、數學歸納法、分類討論、不等式的放縮等重要數學思想方法，并對學生的創新意識、推理論證能力、運算求解能力進行了考查．