Question

【題目】證明:存在無窮多個棱長為正整數的長方體,其體積恰等于對角線長的平方,且該長方體的每一個表面總可以割并成兩個整邊正方形.

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

設長方體棱長為.依題意有.

問題轉化為證明方程有無窮多組正整數解(),且三數中,

任意兩數之積皆可表示為兩個正整數的平方和.

首先,定義數列: .

引理 (1),特別地;

(2),特別地;

(3).

引理的證明:(1)令.則.

因為,

所以, ,即.

(2)對歸納:

顯然成立.

設時,.當時,

,

即對成立.

所以,.

取為特例.

(3)當時,成立,

設時,.

當時,因是方程的根,另一個根為

.

所以,.

故.

回到原題.由引理(3)知,是的解,

且由引理(2)、(1)得

,

,

.

所以,原方程有無窮多組正整數解(),使得三數中,

任意兩數之積皆可表示為兩個正整數的平方和.

因此,原題結論成立.