Question

下列4個命題：
①已知

e

是單位向量，|

a

+

e

|=|

a

-2

e

|，則

a

在

e

方向上的投影為

1

2

；
②關于x的不等式a＜sin2x+

2

sin2x

恒成立，則a的取值范圍是a＜2

2

；
③函數f（x）=alog₂|x|+x+b為奇函數的充要條件是a+b=0；
④將函數y=sin（2x+

π

3

）圖象向右平移

π

3

個單位，得到函數y=sin2x的圖象
其中正確的命題序號是

①

（填出所有正確命題的序號）．

Answer 1

分析：化簡①由已知化簡可得

a

•

e

=

1

2

e

2，而要求的等于|

a

|cos＜

a

，

e

＞，代入化簡，即可判斷正誤．②不等式恒成立轉化成函數的最值進行判斷出；③通過舉反例對③進行判斷；④利用函數圖象的平移判斷正誤即可；

解答：解：對于①，∵|

a

+

e

|=|

a

-2

e

|，∴（|

a

+

e

|）²=（|

a

-2

e

|）²，
展開化簡可得：

a

•

e

=

1

2

e

2，
故

a

在

e

方向上的投影等于|

a

|cos＜

a

，

e

＞=

a • e

| e |

=

1

2

，所以①正確．
對于②∵0≤sin²x≤1，令sin²x=t，
∴sin2x+

2

sin2x

=t+

2

t

，則令f（t）=t+

2

t

，t∈[0，1]，
根據其圖象可知，當x＞

2

時，f（t）為遞增的，當0＜x≤

2

時，f（t）為遞減的，
∵t∈[0，1]，∴f（t）≥f（1）=1+2=3，∴sin2x+

2

sin2x

≥3
∵a＜sin2x+

2

sin2x

恒成立時，只要a小于sin2x+

2

sin2x

的最小值即可，所以a＜3，所以②不正確．
對于③當a=1，b=-1時，雖然有a+b=0，但f（x）不是奇函數，故③錯，
對于④將函數y=sin（2x+

π

3

）圖象向右平移

π

3

個單位，得到函數y=sin（2x-

π

3

）的圖象，所以④不正確．
正確只有①．
故答案為：①．

點評：本題考查向量的投影，轉化為向量的數量積和模長來運算是解決問題的關鍵，不等式恒成立問題，考查的知識點比較多，屬基礎題．