Question

已知函數f(x)=ln(1+x)－.
(1)求f(x)的極小值;   (2)若a、b>0,求證:lna－lnb≥1－.

Answer 1

(1) 0.  (2) f(x)≥f(0)=0,從而ln(1+x)≥在x>－1時恒成立.令1+x=>0,則=1－=1－,于是lna－lnb=ln≥1－,即lna－lnb≥1－在a>0,b>0時成立.

試題分析：(1) f(x)=ln(1+x)－,求導數得
f′(x)=,而f(x)的定義域x>－1,在x>0時,f′(x)>0;在－1<x<0時,f′(x)<0.
∴在x=0時,f(x)取得極小值f(0)=0.                                        6分
(2)證明:在x=0時,f(x)取得極小值,而且是最小值,于是f(x)≥f(0)=0,從而ln(1+x)≥在x>－1時恒成立.
令1+x=>0,則=1－=1－,
于是lna－lnb=ln≥1－,
因此lna－lnb≥1－在a>0,b>0時成立.                                   12分
點評：導數本身是個解決問題的工具，是高考必考內容之一，高考往往結合函數甚至是實際問題考查導數的應用，求單調、最值、完成證明等，請注意歸納常規方法和常見注意點．