Question

如圖，把長、寬分別為4、3的長方形ABCD沿對角線AC折成直二面角．
（Ⅰ）求頂點B和D之間的距離；
（Ⅱ）現發現BC邊上距點C的

1

3

處有一缺口E，請過點E作一截面，將原三棱錐分割成一個三棱錐和一個棱臺兩部分，為使截去部分體積最小，如何作法？請證明你的結論．

Answer 1

分析：（Ⅰ）在△ABC中，過B作BO⊥AC，垂足為O，連接OD，利用面面垂直，可得BO⊥OD，進而利用Rt△BOD中，BO=

12

5

，OD=

193

5

，可求BD=

337

5

．
（Ⅱ）兩種方案：方案（一）過E作EF∥AC交AB于F，EG∥CD，交BD于G，可知平面EFG∥平面ACD，從而可求原三棱錐被分成三棱錐B-EFG和三棱臺EFG-CAD兩部分體積比；方案（二）過E作EP∥BD交CD于P，EQ∥AB，交AC于Q，同（一）可證平面EPQ∥平面ABD，原三棱錐被分割成三棱錐C-EPQ和三棱臺EPQ-BDA兩部分體積比，從而可確定方案．

解答：解：（Ⅰ）在△ABC中，過B作BO⊥AC，垂足為O，連接OD

面ABC⊥面ACD BO?面ABC 面ABC∩面ACD=AC

⇒

BO⊥面ACD OD?面ACD

∴BO⊥OD
由已知BO=

12

5

，OD=

193

5

在Rt△BOD中，BD=

337

5

．
（Ⅱ）方案（一）過E作EF∥AC交AB于F，EG∥CD，交BD于G，

EF∥AC EF?面ACD AC?面ACD ⇒EF∥面ACD

∵EG∥平面ACD，

EF∩EG=E
∴平面EFG∥平面ACD
原三棱錐被分成三棱錐B-EFG和三棱臺EFG-CAD兩部分，此時

VB-EFG

VB-ACD

=(

2

3

)3=

8

27

．
方案（二）過E作EP∥BD交CD于P，EQ∥AB，交AC于Q，同（一）可證平面EPQ∥平面ABD，原三棱錐被分割成三棱錐C-EPQ和三棱臺EPQ-BDA兩部分，此時

VC-EPQ

VC-BDA

=(

1

3

)3=

1

27

，
為使截去部分體積最小，
故選用方案（二）．

點評：本題以平面圖形的翻折為載體，考查面面垂直的性質，考查幾何體的體積，考查學生分析解決問題的能力．