Question

（本小題滿分12分）
已知橢圓的長軸長為4，離心率為，分別為其左右焦點．一動圓過點，且與直線相切．
（Ⅰ）（ⅰ）求橢圓的方程； （ⅱ）求動圓圓心軌跡的方程；
（Ⅱ） 在曲線上有兩點，橢圓上有兩點，滿足與共線，與共線，且，求四邊形面積的最小值．

Answer 1

解：（Ⅰ）（ⅰ）由已知可得，
則所求橢圓方程.　　　　　　　　　　------------------------2分
（ⅱ）由已知可得動圓圓心軌跡為拋物線，且拋物線的焦點為(1,0)，準線方程為，則動圓圓心軌跡方程為.                  ----------------------------6分
（Ⅱ）當直線的斜率不存在時，，
此時的長即為橢圓長軸長，,從而     
設直線的斜率為，則，直線的方程為：
直線的方程為. 設
由，消去可得
由拋物線定義可知：
   -------------------9分
由消去得，
從而      

令，∵則  ,則
因為  , 所以       
所以四邊形PMQN面積的最小值為8          ------------------------------12分

略