Question

已知函數f(x)=2ax-,x∈(0,1],

(1)若f(x)在x∈(0,1]上是增函數，求a的取值范圍；

(2)求f(x)在區間(0,1]上的最大值.

Answer 1

解：(1)由已知，可知f′(x)=2a+,

∵f(x)在x∈(0,1]上是增函數，有f′(x)＞0恒成立，即a＞-恒成立,而函數g(x)=-在x∈(0,1)上是增函數，且［g(x)］_max=g(1)=-1,

∴a＞-1.當a=-1時，f′(x)=-2+，對于x∈(0,1］，也有f′(x)≥0,滿足f(x)在x∈(0,1］上是增函數,∴a≥-1即為所求.

(2)由(1)知a≥-1時，f(x)在x∈(0,1］上是增函數.

∴當a≥-1時，［f(x)］_max=f(1)=2a-1.

    當a＜-1時，令f′(x)=2a+=0，解得x=,注意到0＜＜1.

∴當0＜x＜時，f′(x)＞0;

    當＜x≤1時，f′(x)＜0.

∴當a＜-1時，［f(x)］_max=f()=2a-()²=-3.

∴對于x∈(0,1],

    當a≥-1時，［f(x)］_max=2a-1;

    當a＜-1時，［f(x)］_max=-3.