Question

在棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，AD=2AB=2BC=4，P是A₁D₁的中點．
（1）求證：BP∥平面ACD₁；
（2）若M是AC的中點，且B₁M⊥平面ACD₁，求線段BB₁的長．

Answer 1

分析：（1）由題意可得：PD₁=BC，結合題意可得：PD₁∥BC，PD₁=BC，所以四邊形BCD₁P為平行四邊形，即可根據線面平行的判定定理可證明線面平行．
（2）連接D₁M，B₁D₁，BM，B₁M，由線面垂直可得B₁M⊥D₁M，所以B₁M²+D₁M²=B₁D₁²．同理可得：B₁B⊥BM．設B₁B=x，則B₁M²=x²+2．在Rt△ABC中，可求得在Rt△B₁A₁D₁中，可得B₁D₁=2

5

，所以x²+2+10+x²=20，即可求出x的值，進而求出答案．

解答：解：（1）證明：因為P為A₁D₁的中點，
所以PD₁=

1

2

A₁D₁=

1

2

AD=BC．
又因為底面ABCD是直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，
所以AD∥BC∥A₁D₁，
即PD₁∥BC，PD₁=BC，
所以四邊形BCD₁P為平行四邊形．
所以BP∥CD₁，
又因為BP不在平面ACD₁內，
所以BP∥平面ACD₁．
（2）連接D₁M，B₁D₁，BM，B₁M，
因為B₁M⊥平面ACD₁，
所以B₁M⊥D₁M，
所以B₁M²+D₁M²=B₁D₁²．
又因為B₁B⊥平面ABCD，
所以B₁B⊥BM．
設B₁B=x，由AB=BC=2可得BM=

2

，則B₁M²=x²+2．
在Rt△ABC中，可求得DM=

10

，
所以D₁M²=10+x²．
在Rt△B₁A₁D₁中，可得B₁D₁=2

5

，
所以x²+2+10+x²=20，
解得x=2．
所以B₁M⊥平面ACD₁時線段BB₁的長為2．

點評：本小題主要考查利用線面平行于垂直的判定定理證明線面垂直與線面平行，并且考查空間想象能力和推理論證能力，屬于基礎題．