Question

選修4-2：矩陣與變換：在平面直角坐標系xOy中，已知四邊形ABCD的四個頂點A（0，1），B（2，1），C（2，3），D（0，2），經矩陣M=

1 0 k 1

表示的變換作用后，四邊形ABCD變為四邊 A₁B₁C₁D₁，問：四邊形ABCD與四邊形A₁B₁C₁D₁的面積是否相等？試證明你的結論．

Answer 1

分析：根據畫圖可知四邊形ABCD是直角梯形，求出其面積，然后求出A，B，C，D四點經矩陣M對應的變換后的點的坐標，再求出變換后的四邊形的面積，即可得到結論．

解答：解  由題知，四邊形ABCD是直角梯形，其的面積為S₁=3．  …（3分）
A，B，C，D四點經矩陣M對應的變換后依次為A₁（0，1），B₁（2，2k+1），C₁（2，2k+3），D₁（0，2）．…（7分）
因為A₁D₁與B₁C₁平行且距離為2，且四邊形A₁B₁C₁D₁也是直角梯形，所以四邊形A₁B₁C₁D₁的面積為S₂=

1+2

2

×2=3．
綜上所述，四邊形ABCD與四邊形A₁B₁C₁D₁的面積相等．  …（10分）

點評：本題主要考查了矩陣變換的性質，同時考查了四邊形面積的計算，屬于基礎題．