Question

某廠用甲、乙兩種原料生產A、B兩種產品，已知生產1t A產品，1t B產品分別需要的甲、乙原料數，可獲得的利潤數及該廠現有原料數如下表所示．問：在現有原料下，A、B產品應各生產多少才能使利潤總額最大？列產品和原料關系表如下：

所需原料 產品 原料	A產品 （1t）	B產品 （1t）	總原料 （t）
甲原料（t）	2	5	10
乙原料（t）	6	3	18
利潤（萬元）	4	3

Answer 1

分析：先設生產A、B兩種產品分別為xt，yt，其利潤總額為z萬元，列出約束條件，再根據約束條件畫出可行域，設z=4x+3y，再利用z的幾何意義求最值，只需求出直線z=4x+3y過可行域內的點時，從而得到z值即可．

解答：解析：設生產A、B兩種產品分別為xt，yt，其利潤總額為z萬元，
根據題意，可得約束條件為

2x+5y≤10 6x+3y≤18 x≥0，y≥0

…（3分）
作出可行域如圖：…．（5分）
目標函數z=4x+3y，
作直線l₀：4x+3y=0，再作一組平行于l₀的直線l：4x+3y=z，當直線l經過P點時z=4x+3y取得最大值，…．（9分）
由

2x+5y=10 6x+3y=18

，解得交點P(

5

2

，1)…．（12分）
所以有zP=4×

5

2

+3×1=13(萬元)…（13分）
所以生產A產品2.5t，B產品1t時，總利潤最大，為13萬元．…（14分）

點評：點評：在解決線性規劃的應用題時，其步驟為：①分析題目中相關量的關系，列出不等式組，即約束條件⇒②由約束條件畫出可行域⇒③分析目標函數Z與直線截距之間的關系⇒④使用平移直線法求出最優解⇒⑤還原到現實問題中．