Question

如圖在Rt△ABC中，三個頂點坐標分別為A（-1，0），B（1，0），C(-1，

2

2

)，曲線E過C點且曲線E上任一點P滿足|PA|+|PB|是定值．
（Ⅰ）求出曲線E的標準方程；
（Ⅱ）設曲線E與x軸，y軸的交點分別為D、Q，是否存在斜率為k的直線l過定點(0，

2

)與曲線E交于不同的兩點M、N，且向量

OM

+

ON

與

DQ

共線．若存在，求出此直線方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用題設點P滿足|PA|+|PB|是定值，可知點P的及軌跡是以A，B為焦點的橢圓，從而可求曲線E的標準方程；（Ⅱ）設l方程與橢圓方程聯立，利用l與橢圓有2個不同交點確定k的取值范圍，利用向量

OM

+

ON

與

DQ

共線，求出k的取值，由此即可得到結論．

解答：解：（Ⅰ）由題設，|AC|=

2

2

，|AB|=2，|BC|=

3 2

2

∵點P滿足|PA|+|PB|是定值．
∴|PA|+|PB|=

3 2

2

+

2

2

=2

2

＞|AB|
由橢圓的定義，可知點P的軌跡是以A，B為焦點的橢圓，且a=

2

，c=1，b=

a2-c2

=1
∴曲線E的標準方程為

x2

2

+y2=1；
（Ⅱ）由已知條件l方程為y=kx+

2

，由

y=kx+ 2 x2 2 +y2=1

消去y整理得（1+2k²）x²+4

2

kx+2=0
l與橢圓有2個不同交點的條件為△=32k²-8（1+2k²）＞0，解得k＜-

2

2

或k＞

2

2

若l與橢圓交于M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），∴x1+x2= -

4 2 k

1+2k2

，y1+y2=k(x1+x2)+2

2

= 

2 2

1+2k2

OM

+

ON

=（x₁+x₂，y₁+y₂）
橢圓與x軸，y軸交點D（

2

，0），Q（0，1），

DQ

=(-

2

，1)
∵向量

OM

+

ON

與

DQ

共線
∴x1+x2=-

2

(y1+y2)
∴-

4 2 k

1+2k2

=-

2

×

2 2

1+2k2

解得k=

2

2

∉(-∞，-

2

2

)∪(

2

2

，+∞)
∴不存在符合題設條件的直線l．

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查向量知識的運用，直線與橢圓聯立，利用韋達定理是解題的關鍵．