Question

已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在軸上，其左、右焦點分別為、，短軸長為，點在橢圓上，且滿足的周長為6．
（Ⅰ）求橢圓的方程；；
（Ⅱ）設過點的直線與橢圓相交于A、B兩點，試問在x軸上是否存在一個定點M使恒為定值？若存在求出該定值及點M的坐標，若不存在請說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）
（Ⅱ）存在這樣的定點，使得。                                      

解析試題分析：（Ⅰ）       所以橢圓的方程為
4分
（Ⅱ）假設存在這樣的定點，設，直線方程為
則
=
聯立 消去得


令 即 ，
當軸時，令,仍有
所以存在這樣的定點，使得           13分                                        
考點：本題主要考查橢圓的標準方程，橢圓的幾何性質，直線與橢圓的位置關系，平面向量的坐標運算。
點評：中檔題，求橢圓的標準方程，主要運用了橢圓的幾何性質，a,b,c,e的關系。曲線關系問題，往往通過聯立方程組，得到一元二次方程，運用韋達定理。對于存在性問題，往往假定存在，條件存在的條件是否具備，而明確存在與否。本題應用韋達定理，結合向量數量積的坐標運算，簡化了解題過程。