Question

【題目】如圖，斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是直角三角形，∠ACB=90°，點B1在底面內的射影恰好是BC的中點，且BC=CA=2．

（1）求證：平面ACC1A1⊥平面B1C1CB；
（2）若二面角B﹣AB1﹣C1的余弦值為 ，求斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的側棱AA1的長度．

Answer 1

【答案】
（1）解：取BC中點M，連接B1M，則B1M⊥面ABC，

∴面BB1C1C⊥面ABC，

∵BC=面BB1C1C∩面ABC，AC⊥BC，

∴AC⊥面BB1C1C，

∵AC面ACC1A1∴面ACC1A1⊥面BCC1B1

（2）解：取BC的中點為M，AB的中點M，連接OM，MB1，

以MC為x軸，MO為y軸，MB1為z軸，建立空間直角坐標系．AC=BC=2，AB=2 ，設B1M=t，則A（1，2，0），B（﹣1，0，0），C（1，0，0），B1（0，0，t），C1（2，0，t），

則 =（﹣1，﹣2，t）， =（﹣2，﹣2，0）， =（2，0，0），

設平面AB1C1法向量 ，

∴ ，即 ，取 = ．

同理可得面AB1B法向量 =（1，﹣1，﹣ ）．

∵ = = ，

t4+29t2﹣96=0，

∴t= ，

∴BB1=2．

【解析】（1）利用線面垂直的性質定理證明面面垂直（2）建立空間直角坐標系，寫出對應點的坐標，利用余弦值求得邊長．