Question

已知函數f（x）=Asinωx+Bcosωx（其中A、B、ω是非零常數，且ω＞0）的最小正周期為2，且當x=時，f（x）取得最大值2．
（1）求函數f（x）的表達式；
（2）求函數f（x+）的單調遞增區間，并指出該函數的圖象可以由函數y=2sinx，x∈R的圖象經過怎樣的變換得到？
（3）在閉區間[]上是否存在f（x）的對稱軸？如果存在，求出其對稱軸方程；如果不存在，則說明理由．

Answer 1

解：（1）∵函數f（x）=Asinωx+Bcosωx（其中A、B、ω是非零常數，且ω＞0）
∴
而f（x）的最小正周期為2，，∴，即ω=π
又當時，f（x）取得最大值2，
∴
而A、B非零，由此解得
∴，即
（2）由（1）知：
∴
由
得：
∴的單調遞增區間為
的圖象可由y=2sinx，x∈R的圖象先向左平移個單位，再將所得圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的倍而縱坐標不變得到．
（3）∵
由，有
當，即時，f（x）取得最大值，
∴其對稱軸方程為．
分析：（1）先利用兩角和的正弦公式將函數化為y=Asin（ω+φ）的形式，再利用周期公式得ω的值，最后將點（，2）代入原函數即可解得A、B的值
（2）先求得函數，再將看做整體代入正弦函數的單調增區間，即可得此函數的單調增區間，再利用函數圖象平移和伸縮變換理論寫出變換過程即可
（3）因為，先求的范圍，與正弦函數圖象的對稱軸對照即可得此函數的對稱軸
點評：本題考查了y=Asin（ωx+φ）型函數的圖象和性質，三角變換公式的運用，函數圖象的平移和伸縮變換，整體代入的思想方法