Question

如圖所示，在斜邊為AB的Rt△ABC中，過A作PA⊥平面ABC，AM⊥PB于M，
AN⊥PC于N．（Ⅰ）求證：BC⊥面PAC；
（Ⅱ）求證：PB⊥面AMN．
（Ⅲ）若PA=AB=4，設∠BPC=θ，試用tanθ表示△AMN 的面積，當tanθ取何值時，△AMN的面積最大？最大面積是多少？

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由PA⊥平面ABC，可得PA⊥BC，又AB為斜邊，得BC⊥AC，PA∩AC=A，由直線和平面垂直的判定定理證得BC⊥平面PAC．
（Ⅱ）由BC⊥平面PAC證得BC⊥AN，又AN⊥PC，可得AN⊥面PBC，從而AN⊥PB．
（Ⅲ）由PB⊥面AMN，可得PB⊥MN，再由AN⊥平面PBC，可得AN⊥MN，故△AMN為直角三角形．用勾股定理求出AN的值，根據=，
當tanθ=時，S_△AMN有最大值為2．
解答：解：（Ⅰ）證明：∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC．
∴PA⊥BC，又AB為斜邊，∴BC⊥AC，PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC．（4分）
（Ⅱ）證明：∵BC⊥平面PAC，AN?平面PAC，∴BC⊥AN，又AN⊥PC，且BC∩PC=C，
∴AN⊥面PBC，又PB?平面PBC．∴AN⊥PB．
又∵PB⊥AM，AM∩AN=A，∴PB⊥平面AMN．（9分）
（Ⅲ）解：在Rt△PAB中，PA=AB=4，∴PB=4，∵PM⊥AB，∴AM=PB=2，∴PM=BM=2．
又∵PB⊥面AMN，MN?平面AMN．∴PB⊥MN．∵MN=PM•tanθ=2tanθ，∵AN⊥平面PBC，MN?平面PBC．∴AN⊥MN．
∵AN=，∴．
∴當tan²θ=，即tanθ=時，S_△AMN有最大值為2，
∴當tanθ=時，S_△AMN面積最大，最大值為2．         （16分）
點評：題考查證明線面垂直的方法，直線和平面垂直的判定、性質的應用，求出△AMN的面積并化簡，是解題的難點和關鍵．