Question

【題目】已知橢圓的中心為原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為，離心率為，不與坐標(biāo)軸垂直的直線與橢圓交于兩點(diǎn).

（1）若為線段的中點(diǎn)，求直線的方程.

（2）若點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，且滿足，設(shè)直線與直線的斜率分別為，問(wèn): 是否為定值?若是.請(qǐng)求出的值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）是定值，

【解析】

(1)根據(jù)離心率和求出橢圓方程，根據(jù)點(diǎn)差法求得斜率，即可求解直線的方程.(2) 設(shè)點(diǎn),根據(jù)和點(diǎn)在橢圓上表示出化簡(jiǎn)即可求解.

（1）設(shè)橢圓的半焦距為，由題意可得

解得

故橢圓的方程為

設(shè)，易知

由于點(diǎn)都在橢圓上，所以所以

因?yàn)?/span>為線段的中點(diǎn)，所以

故直線的方程為，即.

（2）由（1）可知，直線,點(diǎn)

設(shè)點(diǎn)，易知.

因?yàn)?/span>所以，得

因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以即

所以

所以的值是定值，且值為