如圖，設橢圓
的左、右焦點分別為
，點
在橢圓上，
，
，
的面積為
.
（1）求該橢圓的標準方程；
（2）是否存在圓心在
軸上的圓，使圓在
軸的上方與橢圓兩個交點，且圓在這兩個交點處的兩條切線相互垂直并分別過不同的焦點？若存在，求圓的方程，若不存在，請說明理由.
（1）
；（2）存在滿足條件的圓，其方程為
.
解析試題分析：（1）由題設知
其中
由
,結合條件的面積為，可求
的值，再利用橢圓的定義和勾股定理即可求得
的值，從而確定橢圓的標準方程；
（2）假設存在圓心在軸上的圓，使圓在軸的上方與橢圓兩個交點，且圓在這兩個交點處的兩條切線相互垂直并分別過不同的焦點；設圓心在軸上的圓與橢圓在軸的上方有兩個交點為
由圓的對稱性可知
，利用在圓上及
確定交點的坐標，進而得到圓的方程.
解：（1）設，其中，
由
得
從而
故
.
從而
，由
得
，因此
.
所以
，故
因此，所求橢圓的標準方程為：
（2）如圖，設圓心在
軸上的圓
與橢圓相交，是兩個交點，
，
,
是圓的切線，且
由圓和橢圓的對稱性，易知
，
由（1）知
，所以
，再由得
，由橢圓方程得
，即
，解得
或
.
當時，
重合，此時題設要求的圓不存在.
當時，過分別與,垂直的直線的交點即為圓心，設
由
得
而
故
圓的半徑
綜上，存在滿足條件的圓，其方程為：
考點：1、橢圓的標準方程；2、圓的標準方程；3、直線與圓的位置關系；4、平面向量數量積的應用.
名校名師培優作業本加核心試卷系列答案
全程金卷系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，已知圓心坐標為
的圓
與
軸及直線
均相切，切點分別為
、
，另一圓
與圓、軸及直線均相切，切點分別為
、
。
（1）求圓和圓的方程；
（2）過點作
的平行線
，求直線被圓截得的弦的長度；
查看答案和解析>>
科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知圓A：x2＋y2－2x－2y－2＝0.
(1)若直線l：ax＋by－4＝0平分圓A的周長，求原點O到直線l的距離的最大值；
(2)若圓B平分圓A的周長，圓心B在直線y＝2x上，求符合條件且半徑最小的圓B的方程．
查看答案和解析>>
科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知圓C的方程為
，過點M（2，4）作圓C的兩條切線，切點分別為A，B，
直線AB恰好經過橢圓T：
（a＞b＞0）的右頂點和上頂點．
（1）求橢圓T的方程；
（2）已知直線l：y＝kx＋
（k＞0）與橢圓T相交于P，Q兩點，O為坐標原點，
求△OPQ面積的最大值．
查看答案和解析>>
科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知圓C經過點A(－2,0)，B(0,2)，且圓心C在直線y＝x上，又直線l：y＝kx＋1與圓C相交于P、Q兩點．
(1)求圓C的方程；
(2)過點(0,1)作直線l1與l垂直，且直線l1與圓C交于M、N兩點，求四邊形PMQN面積的最大值．
查看答案和解析>>
科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知直線l：y=x+m，m∈R．
(1)若以點M（2，0）為圓心的圓與直線l相切與點P，且點P在y軸上，求該圓的方程；
(2)若直線l關于x軸對稱的直線為lˊ，問直線lˊ與拋物線C：
是否相切？說明理由．
查看答案和解析>>
湖北省互聯網違法和不良信息舉報平臺 | 網上有害信息舉報專區 | 電信詐騙舉報專區 | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區 | 涉企侵權舉報專區
違法和不良信息舉報電話：027-86699610 舉報郵箱：58377363@163.com
通過不同三點
，且直線
斜率為
,
是
軸上的動點，
分別切圓
兩點，
恒過一定點;
的最小值.
：
被圓C所截得的弦長為
，則過圓心且與直線